一、Bezier曲线历史
1962年贝塞尔提出新的曲线表达方式：用向量和多项式结合，表达曲线、曲面
1971年，贝塞尔发表一种由控制多边形定义曲线的方法，并作为UNISURF CAD系统的理论存在。
法国雪铁龙（Citroen）汽车公司的de Casteljau于1959年发明也独立研究发展了同样的方法，但结果从未公开
二、Bezier曲线定义
1. Bezier曲线的定义
空间给定n+1个点的位置矢量P0、P1…Pn，则n次Bezier曲线上各点坐标的拟合公式为：
其中伯恩斯坦（Bernstein）基函数 的定义为；
公式中，假设：
2. 伯恩斯坦基函数性质
1）非负性
2）端点性质
3）归一性
4）对称性
5）递推性
3. Bezier曲线推导
1）一次Bezier曲线
一次Bezier曲线为两点确定的直线：
2）二次Bezier曲线
二次Bezier曲线为抛物线：
3）三次Bezier曲线
三次Bezier曲线形式：
三、Bezier曲线的性质
1. 端点位置：经过起点和终点
2. 端点切矢量：与控制多边形的始边、终边相切
3. 对称性
保持控制多边形顶点的位置不变，但顺序颠倒，所得新Bezier曲线形状不变，参数变化的方向相反
4. 凸包性
Bezier曲线位于其控制多边形的凸包之中。
证明依据—伯恩斯坦基函数的非负性、归一性
5. 几何不变性
Beizer曲线的形状不随坐标变换而变化的特性。Beizer曲线的形状只与各控制顶点的相对位置有关
6. 变差缩减性
若Bezier曲线的特征多边形P0P1...Pn是一个平面图形，则平面内任意直线与P(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数。
该性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺
四、Bezier曲线的连续性
设两段三次Bezier曲线S1和S2的控制点分别为P0、P1、P2、P3和Q0、Q1、Q2、Q3， S1和S2连续的条件：
1. C0连续：P3和Q0为同一点
2. G1连续：如何确定两条曲线的顶点位置关系？
五、Bezier曲线的绘制
