一、自由曲线概念

二、自由曲线发展

1963年，美国波音飞机公司的弗格森(Ferguson)将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，从此，参数形式成为自由曲线曲面数学描述的标准形式

1964年，美国麻省理工的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一块曲面；

1971年 法国雷诺汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法；

同期，法国雪铁龙（Citroen） 汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau）也独立地研究出与Bezier类似的方法。 

1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。

1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理B样条方法。

80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B（NURBS）样条方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。

三、自由曲线相关知识

1. 样条曲线、曲面的概念

样条曲线（ spline curve ）指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件。 

样条曲面（ spline surface ）可以使用两组样条曲线进行描述。在图形学应用中使用几种不同的样条描述。每种描述简单地表示一个带有某种特定边界条件的多项式的特殊类型。

2. 自由曲线的表示方法

参数表示优点：

3. 通用参数表示的三次样条曲线 -- 弗格森曲线

4. 自由曲线/曲面设计过程中的问题

5.  自由曲线/曲面设计过程中的概念

插值（Interpolation）：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。

逼近（Approximation）：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。

拟合（fitting）：由型值点求插值曲线或求逼近曲线的问题，统称为曲线的拟合。

型值点：指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述其几何形状的数据点。

控制点：指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点，曲线曲面本身不一定通过控制点。

特征多边形：按一定次序连接控制点得到的控制多边形。

5. 曲线的连续性

1）函数连续—参数连续

即函数的可微性：把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n 阶连续导矢，即n 阶连续可微，这类光滑度称之为Cn 或n 阶参数连续性。

2）曲线光滑—几何连续

组合曲线在连接处满足不同于Cn 的某一组约束条件，称为具有n 阶几何连续性，简记为Gn