一、 三维空间下点的表示

三维空间下，点的齐次坐标表示如下：

三维空间下的坐标系，满足右手定理。

二、 三维几何变换

1. 三维平移变换

2. 三维缩放变换

1）相对于坐标原点的缩放变换

2）相对于任意点的缩放变换

3. 三维旋转变换

正负旋转角度----在右手坐标系下，相对坐标系原点绕坐标轴旋转相应角度（满足右手螺旋法则），逆时针旋转角度为正向。

1）绕z轴旋转任意角度

2）绕x轴旋转任意角度

以绕z轴旋转作为参考，先将坐标轴进行参数替换，然后将变换公式中进行同样的参数替换，即可得绕x轴旋转的变换矩阵。如下图所示，用x代替z、用z代替y、用y代替z，则得到新的坐标系：

将变换矩阵中的参数，进行同样的替换，即用x代替z、用z代替y、用y代替z，得绕x轴旋转的变换矩阵：

3）绕y轴旋转任意角度

同理，首先进行坐标系的参数替换，如下图：

然后，将变换公式中的参数进行同样的替换，得绕y轴旋转的变换矩阵：

三维空间下，绕z轴、x轴、y轴旋转的变换矩阵，总结如下：

4）绕任意直线旋转任意角度

给定两点p1p2确定的一条直线，将空间中的点p绕直线p1p2旋转指定角度，可以通过五个步骤进行实现。

a. 定义旋转向量

b. 给出沿旋转向量方向的单位矩阵

五步变换的图示如下：

五步变换的变换矩阵，利用以下步骤给出：

第一步：平移变换

将任意直线进行相应位移的平移，使该直线经过坐标原点

第二步：绕坐标轴的旋转变换  --  两次旋转

将经过坐标原点的直线，进行两次旋转，使直线与坐标轴z轴重合。例如，先将直线绕x轴旋转一定角度，使直线旋转到xoz平面内；然后将直线绕y轴旋转一定角度，使直线与z轴重合。具体过程如下：

首先，将任意直线旋转到xoz平面内。

然后，将任意直线旋转到与z轴重合。

第三步：绕任意直线的旋转变换

此时，任意直线与z轴重合，所以绕任意直线旋转指定角度，相当于绕z轴旋转指定角度。变换矩阵如下：

第四步：绕坐标轴的逆旋转变换  --  两次旋转

此时，做第二步的逆操作。首先绕y轴逆旋转相应角度，将任意直线旋转回xoz平面内；然后绕x轴逆旋转相应角度，将直线旋转回过坐标原点的任意直线。

第五步：逆平移变换

此时，做第一步的逆操作。将过坐标原点的任意直线平移相应的位移，使其恢复原来的位置。

将上述五个步骤进行总结，得到绕任意直线旋转指定角度的变换矩阵如下；

4. 三维对称变换