（二）纯粹数学的若干进展

（1）拓扑学

拓扑学形成于19世纪，起初叫形势分析学。1851年，德国数学家黎曼（1826-1866）在研究复变函数时认为，要研究函数和积分，就必须研究形势分析学（即图形的性质、纽结与嵌入等方面的问题），拓扑学的系统研究从此开始。现在已发展成为组合拓扑、分析拓扑和点集拓扑在内的现代数学理论，同时在泛函分析、群论、微分方程等数学分支中有广泛的应用。拓扑学用代数的方法研究几何图形在拓扑变换下保持不变的性质，即几何图形在弯曲、变形、拉大、缩小或任意变形下仍然保留的性质，而且在这种变化过程中原来不在一起的点不能粘在一起，原来在一起的点也不能断开而产生新的点。也就是说，在原来图形上的点与变换了的图形上的点之间存在着一一对应关系，并且邻近的点仍为邻近的点。拓扑变换就是指几何图形在空间中一种连续的变形，同时变形中还要满足一定的条件。几何图形在拓扑变换下保持不变的性质称为拓扑性质。

（2）抽象代数

现代抽象代数开端的标志是德国女数学家诺特（Ｅ.Noether,1882-1935）在１９２１年发表的《环中理想论》。抽象代数也称为近世代数，包括群论、环论和域论等分支。

群论是最早提出的抽象代数分支，产生于人们对五次以上代数方程求问题的讨论过程中。群可以看作是一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于通常加法或乘法那样的关系。它要满足以下条件：①具有封闭性。集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合。②满足结合律。对于集合中的任意三个元素a，b，c满足结合律（a · b）· c = a · (b· c )。③存在单位元素。存在位无e，使对该集合中任意元素a，有e · a = a · e = a。④存在逆元素。对于集合中任意元素a，存在逆元素a，存在逆元素a^-1，使得a · a^-1 = a^-1 ·a = e。 群论是建立在群概念的基础上的数学分支。群论的主题之一是寻找群的生成子，使得该群中的每一个元素都有可以表示这些生成子及其逆的方幂的乘积。此外，还研究如何将复杂的群分解单群，以及一切单群的种类，从而弄清所有群的结构问题。把群论的基本原理同运动的具体对称性相结合，就成为研究物质微粒的一种有力工具。现在，群论已有效地应用于物理学、化学、结晶学等到学科中。

环论是建立在环概念基础上数学分支。环也可以看成一类对象的组合，不过这些对象之间都存在着两种运算关系。域论是建立在域概念基础上的数学分支。域有时叫做体，它是个特殊的环。

除了这几个概念之外，还有模、代数、格以及范代数、同调代数、范畴等。

（3）泛函分析

泛函分析起源于对变分法的研究积分方程的研究，同时得益非欧几何对空间的推广。这时，数学中“空间”是指由某种对象所构成的集合，维是指构成这种空间基本元素的个数。无限空间是N维空间一种推广。关于泛函的抽象理论是在１９世纪初首先由意大利数学家伏尔泰（V.Volterra,1860-1940）和法国数学家阿达玛(J.Hadamard,1865-1963)在研究中开创的。“泛函”一词由阿达玛在1903年首先采用，伏尔泰称之为线函数，即曲线的函数。

泛函数概念的形成是泛函分析的关键。数学家冯·若依曼通过对希尔伯特空间上对称算子的研究，确立了算子理论。

研究无限维线性空间的泛函分析和算子理论，就产生了一门新的分析数学——泛函分析。其特点是它不但把古典分析的基本概念一般化了，而且把这些概念和方法几何化了。

泛函分析是研究现代物理学的一个有力工具。连续介质力学、量子力学等都属于无限自由度系统，对于这些系统只能用无限的空间的几何学和分析学研究，而这正是泛函分析的基本内容。泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学以及工程技术上也有广泛的应用。